发布时间：2023-09-24 15:39:59
绪论：一篇引人入胜的高中数学公式汇总，需要建立在充分的资料搜集和文献研究之上。搜杂志网为您汇编了三篇范文，供您参考和学习。
十年前，我教的一名女生给我写了一封信：老师，我一直在按照您的要求学习数学，可我的数学成绩还是不理想，我该怎么办呢？您能帮我吗？直至今天，我一直都在找回这封信的最佳答案。现阶段的新课程改革又让我深深感到：高中数学呼唤优质课堂教学模式。
我通过整理全数学组教师对同课异构的数学课进行听课、评课、议课，通过对学生听课情况的分析，根据数学学科的特点，以教学理论为依托，在落实学校特色课堂的基础上，整理、归纳、实践了启学互动教学模式，提高了教学效率，真正实现了高效课堂。
一、高中数学启学互动教学模式的概念界定
（一）启学
启学就是启发学生学习，包括：学生与学生之间的生生启发，教师对学生之间的师生启发，教学多媒体对学生的媒介启发。从不同角度，用不同方式多元化启发学生，调动学生思维。
（二）互动
互动就是在教学过程中教师为更有效地进行教学活动而设计的教师和学生的双边教学活动。包括：学生与学生之间的生生互动，教师对学生之间的师生互动，教学多媒体对学生的媒介互动。从不同角度，用不同方式多元化通过教学互动学生，调动学生思维。
（三）启学互动教学模式
启学互动教学模式就是在教学过程中通过生生互动、师生互动、媒介互动实现生生启发、师生启发、媒介启发，从不同角度，用不同方式多元化调动学生思维的课堂教学模式。
二.高中数学启学互动教学模式的教学环节和措施
（一）高效引入――第一环节
通过高效引入启发学生学习新知的兴趣。
教学引入可采取：感知引入，实例引入，多媒体演示引入，学生操作引入，已有经验、方法引入。
注意：1.教学引入方法的选择应根据具体的教学内容采取相应的引入方法。
2.教学引入原则是快速有效，因为教学引入是教学的开始，应快速有效，否则课堂会头重脚轻。
例如：选修1-1§1.1.2命题及其关系教师可采用“已有经验、方法引入”。
（二）目标展示――第二环节
通过目标展示启发学生学习新知的目标。
注意：1.教师展示给学生的应该是学生的学习目标，而不是教 师的教学目标，因为教学目标是教师的教学任务，学生要知道的是学生的学习任务。
2.教学目标应明确有效，教师要把学习目标明确、具体呈现给学生。
例如：选修1-1§1.1.2命题及其关系中目标展示。
（三）自主探究――第三环节
通过自主探究让学生学习新知的主要内容。
现代认知心理学把知识概括为陈述性知识、程序性知识和策略性知识三类。陈述性知识指“是什么”的知识，程序性知识是“怎么办”的知识，策略性知识是“如何学习”的知识。所以自主探究分为三个环节：
1.自主探究一：探究“是什么”，其主要环节是：
（1）展示探究问题：老师用多媒体或讲练稿向学生呈现本节课的数学概念、定义、定理、公理等即“是什么”的教学内容。这个环节要靠师生互动和媒介互动共同来完成。
（2）自主探究问题：学生以两人或四人为一组，先自己探究，再组内讨论，最后实现组内统一共识。这个环节主要靠生生互动来完成。
（3）展示探究结论：有不同见解的组各选一个代表来展示本组的结果。这个环节主要靠生生互动、师生互动来完成。
（4）评价探究结论：教师对“是什么”的教学内容进行评价，教师的评价要精辟有效，必要时要通过多媒体等来突破概念 的重点和难点。这个环节主要靠师生互动、媒介互动来完成。
2.自主探究二：探究“怎么办”，其主要环节是：
（1）展示探究问题：老师用多媒体或讲练稿向学生呈现本节课的数学公式的推导、数学定理的证明、数学例题的解答等程序性知识即“怎么办”的教学内容。这个环节要靠师生互动和媒介互动共同来完成。
（2）自主探究问题：学生以两人或四人为一组，先自己探究，再组内讨论，最后实现组内统一解答程序。这个环节主要靠生生互动来完成。
（3）展示探究结论：有不同见解的组各选一个代表来展示本组的解答程序。这个环节主要靠生生互动、师生互动来完成。
（4）评价探究结论：教师对“怎么办”的教学内容进行评价，教师的评价要精辟有效，最好用板书来呈现解题的详细过程并帮助学生分析、建立统一的解题程序。这个环节主要靠师生互动、媒介互动来完成。
3.自主探究三：探究“如何学习”，其主要环节是：
（1）展示探究问题：老师用多媒体或讲练稿向学生呈现本节课的数学公式、数学定理、数学例题的解答方法和策略即“如何学习”的教学内容。这个环节要靠师生互动和媒介互动共同来完成。
（2）自主探究问题：学生以两人或四人为一组，先自己探究，再组内讨论，最后实现组内统一解答方法和策略。这个环节主要靠生生互动来完成。
（3）展示探究结论：有不同见解的组各选一个代表来展示本组的解答方法和策略。这个环节主要靠生生互动、师生互动来完成。
（4）评价探究结论：教师对“如何学习”的教学内容进行评价，教师的评价要精辟有效，最好用多媒体来呈现解题的具体方法、注意事项并帮助学生分析、建立统一的解题方法和策略。这个环节主要靠师生互动、媒介互动来完成。
例如：选修1-1§1.1.2命题及其关系中自主探究。
注意：①.教师呈现探究问题要具体明确②各环节的时间掌握要精确掌控③各环节间的衔接要流畅、迅速。
（四）讲练结合――第四环节
通过讲练结合让学生进一步理解新知、应用新知、掌握新知。
注意：1.教师的讲解、评价要突出新知的重点，突破新知的难点，重点内容重点讲，难点内容反复讲。
2.教师要精选例题和练习，力争既全面覆盖本节课的知识点，又突出本节课的解题方法和策略。
3.这个环节主要通过师生互动来实现。
例如：选修1-1§1.1.2命题及其关系中讲练结合。
（五）目标达成――第五环节
通过目标达成即老师为了检测教学效果和学生学习效果安排的课堂小检测。
注意：1.检测习题要突出新知的重点，重点内容要从多角度、多 元化、适量多安排习题。
2.检测习题力争既全面覆盖本节课的知识点，又突出本节课的解题方法和策略。
3.检测习题既要控制难度又要控制数量，一般以简单或中 等难度习题最好，数量控制在1至5道习题之间。
例如：选修1-1§1.1.2命题及其关系中目标达成。
（六）总结提升――第六环节
通过总结提升即老师评价整节课的重点数学概念、重点数学解题程序、重点数学解题方法，来提链本节课的数学思想方法、提升学生用本节课的数学思想方法解决问题的数学理性思维。
注意：1.教师的总结评价要精辟有效即概括整节课的重点数学概念、解题程序、解题方法。
2.最好按照课堂程序，用多媒体或讲练稿具体明确呈现重点数学概念、解题程序、解题方法。
例如：选修1-1§1.1.2命题及其关系中总结提升：
三、启学互动教学模式的实施案例
§1.1.2命题及其关系
教学目标： 1.通过自主探究四种命题间的相互关系，了解四种命题间的相互关系；
2.通过自主探究四种命题间的真假关系，了解四种命题间的真假关系；
3.通过自主探究四种命题及真假性关系的应用，会利用命题及真假关系判断命题的真假，进而了解处理问题时可用逻辑的方法及正难则反的思想方法。
教学重点：四种命题相互关系及真假关系
教学难点：四种命题的相互关系及真假关系的探究
教学方法：观察-思考-讨论-归纳-演绎
教具：课本、讲练稿、多媒体
课型：概念课
教学内容：
（一）、高效引入
1.在数学中命题的形式：常写成“若p，则q ” 形式，其中p叫做命题的条件 ，q叫做命题的结论 .
2.四种命题的一般形式：
原命题：若p则q
逆命题：若q则p
否命题：若非p则非q
逆否命题：若非q则非p
（二）、学习目标：
1.认识四种命题之间的关系及真假关系.
2.会利用命题的等价性判断真假.
（三）、自主探究：
自主探究（一） 四种命题间的相互关系
观察下面四个命题：
（1）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数；
（2）若f（x）是周期函数，则f（x）是正弦函数；
（3）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数；
（4）若f（x）不是周期函数，则f（x）不是正弦函数.
问题1.命题（1）与命题（2）、（3）、（4）分别是什么关系？
问题2.命题（2）与命题（3）、 （4）的关系？
问题3.命题（3）与命题 （4）的关系？
问题4.画出四种命题间的相互关系图。
自主探究（二） 四种命题真假性之间的关系
（1）原命题：若a>b ，则a+c>b+c
逆命题：若a+c>b+c ，则a>b
否命题：若a≤b ，则a+c≤b+c
逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
（2）原命题：若a=0，则ab=0
逆命题：若ab=0，则a=0
否命题：若a≠0，则ab≠0
逆否命题：若ab≠0，则a≠0
（3）原命题：若x2-3x+2=0，则x=2
逆命题：若x=2，则x2-3x+2=0
否命题：若x2-3x+2≠0，则x≠2
逆否命题：若x≠2，则x2-3x+2≠0
（4）原命题：若a>b ，则ac>bc
逆命题：若ac>bc ，则a>b
否命题：若a≤b ，则ac≤bc
逆否命题：若ac≤bc，则a≤b
（5）四组命题的真值表：
问题汇总 （1） （2） （3） （4）
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
结论一：
1.原命题为真，它的逆命题不一定为真
2.原命题为真，它的否命题不一定为真
3.原命题为真，它的逆否命题一定为真
结论二：
传统的教学方式是老师讲学生听、老师做学生看，学生被动地接受知识，他们的主动性、积极性很难发挥，久而久之，形成一种压抑的课堂气氛，学生学习的自主性被扼杀。因此，老师应该放下“师道尊严”的架子，老师应是指导者、激励者、组织者、帮助者和促进者，要让不同层次的学生都有收获，有“成就感”。教学过程是一个师生互动、彼此影响的动态过程。通过老师热情的唤醒，让学生放开手脚去想、去做，欢迎学生提出不同于老师、书本的看法。
二、为学生提供自主学习的空间
只有教师的主导作用不越位，学生在课堂上才会真正地自主学习。而防止教师“越位”的有效措施，就是给予学生自主学习的自由，让学生拥有自由支配的时间。教师要认识到交给学生主体参与的时间不会影响教学质量。大量的研究表明：学生参与学习的程度与参与前的素质是决定学习成绩优劣的最重要的因素。因此，我们在教学实践中要做到“六放手”：新知识放手，让学生主动探索;重点、难点放手，让学生自由讨论;提出的问题放手，让学生思考解答;结论放手，让学生概括归纳;规律放手，让学生自己寻找;知识结构放手，让学生自主构建。总之，自由是学生主体参与教学的最佳境界和重要保障。有了自由，才能自立;有了自主，才能创新，才谈得上学生自主学习能力的发展。
三、创设质疑氛围，多元化思维
学生在学习的过程中多少会遇到一些问题，培养学生由问题而思考，由思考而提出问题、解决问题的能力，是培养学生自主学习能力的关键。因此，在数学课堂教学过程中，要善于创设各种问题情境，把学生的思维逐步引向深入的问题台阶，启发学生进行思考，从而形成正确的概念，有利于学生对知识的掌握和运用。让学生分成小组进行讨论，然后每个组派代表上台进行辩论，发表各自的观点，老师在一旁进行指导，鼓励学生大胆谈出自己的观点，这种“问题教学法”对于拓展学生的视野、思维都大有益处。同时有助于让学生从不同的角度看待事物之间的关系，发挥学生的想象力，引导学生思维多元化。让学生敢于质疑，善于质疑，目的在于为课堂提供一个良好的情绪背景，使学生学习兴趣浓厚，借此吸引学生的注意力，营造宽松、和谐的学习氛围。
四、加强学习方法的指导
在高中数学自主学习教学过程中，老师要特别重视的是对学生数学学习方法的指导，要把观念下的死记硬背等转化到动脑、动手、动嘴和灵活记忆中来，破除数学自学中困难比较大的题目。比如说在自学的过程中，我们常常会遇到一些应用题，这类应用题的难度比较大，也比较绕口，学生在进行自主学习的过程中，面对巨大的数字、庞大的解题难度和数学公式的应用，就无法进行解答。所以，我们应该指导学生适当舍弃这些知识，把时间花费在困难适中的数学知识上，实现数学方法的指导教学。
五、创新作业模式，关注学生学习过程
课后，教师布置给学生的作业要有别于传统作业。传统作业经常是做书上习题、完成试卷或是辅导书上的题目。而自主学习的作业要有部分软性作业。软性作业一般没有固定的模式，比如可以布置这样的作业：请大家归纳整理等差数列解题方法、一般思路、常见生活中的应用。通过这样的作业，学生会自己去总结和复习巩固等差数列这一部分的知识，掌握比较好的学生可以少花时间在作业上，掌握慢的学生可以慢慢巩固和复习这部分知识。作业的检查可以通过公开分组讨论的方式进行，每位学生将自己的总结成果与大家分享，通过交流，汲取所有同学的总结成果。最后，教师将所有方法进行汇总，分析优缺点，讲解难点、重点，指出独特、关键之处。再加上传统作业的巩固，效果会更好。这样学生才能学会将自己归纳掌握的知识运用到解题中去，并且可以通过练习作业来检验自己对该部分内容的掌握程度。这样，相信学生能够很好地掌握关于等差数列的一系列知识。
总之，素质教育对数学教师提出了更高的要求，数学教师应更新观念，不断优化教学结构、教学方法、教学手段等来最大限度地调动学生学习的积极性，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，从而提高学生的自主探究能力和创新精神，开拓学数学、教数学的新天地。
参考文献：
12月21日―23日，笔者去淄博十一中参加山东省优质课观摩活动，选手是优中选精，课亦是精心准备，亮点频现，节节精彩！《普通高中数学课程标准》提出的基本理念：学生发展为本，“立德树人”，提升素养.课堂教学以学生为主体，重视调动学生的积极性，促进学生数学学习的发展，成为优质课教学设计的共性.如何进行教学设计，让导学案的“引”和“导”更有效，笔者认为要注重数学探究教学.
数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.使学生在这一系列的数学活动中进行数学创造和获得数学经验.
1数学探究教学的原则
1.1立足教材，精选内容
探究问题的选择要基于以下几点考虑：（1）突出关键的知识点；（2）突破学习中的难点；（3）凸显知识的易错点；（4）注重思维的增长点.分析本节课在本章中的地位和作用，本节课在本知识模块中的地位和作用，以及本节课在高中数学中的地位和作用十分必要.一节课不可能开展次数过多的探究活动，要根据教学的重点和难点，进行一次或两次高效的探究活动即可.
1.2基于学情，启发思考
探究学习要让学生利用已知发现未知，所以要对学情进行评估.问题设置要注意起点合理，提倡“跳一跳摘桃子”.可以采取“小步子”的策略，化大为小，分解难点.必要时进行小组合作学习，让学生的思维进行碰撞，产生新知识的增长点.
1.3提升素养，优化思维品质
数学探究要帮助学生提高兴趣，认识自我，激发自信，提高学习的质量.数学探究活动要注重数学思想方法培养，使学生在学习的过程中认识数学、理解数学、热爱数学，能抓住“主线”进行学习，进而提升发现问题、分析问题和解决问题的能力.在探究结束后，要注意进行小结，彰显规律性.
2数学探究教学的方法
多年来，我们一直强调“用教材教”而不是“教教材”.其实，这就是要求教师要研究教材，创造性地使用教材，教师要有开发校本课程资源的意识，提升课堂教学内涵.探究性问题设计可以将教材内容优化，变平淡为精彩.
2.1从“特殊”到“一般”
特殊到一般的方法重点在于“铺垫”，教师创设问题情境，学生借助问题情境循序渐进，得到问题的解决思路.
案例1平面上两点间的距离公式推导（课例：两点间的距离.）
问题1：在直角坐标系中，x轴上有两点P1（x1，0）和P2（x2，0），那么P1和P2之间的距离为多少？如果线段P1P2平行于x轴呢？
问题2：在直角坐标系中，y轴上有两点P1（0，y1）和P2（0，y2），那么P1和P2之间的距离为多少？如果线段P1P2平行于y轴呢？
问题3：在直角坐标系中，已知x轴上一点P1（x0，0）和y轴上一点P2（0，y0），那么P1和P2之间的距离为多少？
问题4：一般地，已知平面上两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），如何求P1和P2之间的距离？
这4个探究问题的设计：问题1和问题2提供与坐标轴平行或重合的线段长度求法；问题3的解决办法是勾股定理；问题4与前面3个问题自然衔接，解决办法是构造直角三角形，利用勾股定理求解，必须首先利用问题1和问题2的方法求出两条直角边长.
从“特殊”到“一般”的问题探究思路是优质课中大部分选手采用的方法，递进的问题设计，得出一般问题的解决思路，小梯度、慢节奏，最后思维得到提升.
2.2趣味性的问题设计
通常情况下，学生对数学公式的感受要差于对数学图形的理解，而对数学图形的理解要差于对空间几何体的感受.问题的设计能够激发学生数学学习的兴趣很关键.
案例2点到直线的距离公式的推导（课例：点到直线的距离.）
引入：有一天，笛卡尔生病卧床，但他一直在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？同样几何图形可不可以通过代数形式来表达？
不经意间，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗.他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？据此，他创建了直角坐标系，在代数和几何上架起了一座桥梁.
同学们请看：
现在蜘蛛网上有一只蜘蛛P.
思考1：蜘蛛网上粘住一只蜻蜓M，蜘蛛如何爬行才能最快到_蜻蜓的位置？为什么？
思考2：蜘蛛要用最短的时间到达蜘蛛网上的直线l，蜘蛛应该如何爬行？为什么？
总结：这个最短距离就是点到直线的距离.
假设蜘蛛的位置P（1，-1），
问题1：如何求出点P到x轴的距离？
问题2：如何求出点P到y轴的距离？
假设直线l的方程为x+y-2=0，
问题3：如果蜘蛛在蜘蛛网中心的位置，如何求出蜘蛛到直线l的距离？
问题4：如何求出点P（1，-1）到直线l的距离？
小组合作学习：有几种不同的解决办法？
注：选择最优化的解决方案.
问题5：请同学们自主推导，平面直角坐标系中点P（x，y）到直线l∶Ax+By+C=0的距离公式.
2.3开放性问题设计
这里讲的开放性的问题，是指答案不固定的题目.高考中数学问题的答案一般唯一，但是日常教学有些问题的答案不必唯一，给学生足够的想象空间，发散思维，利于学生的思维拓展.
案例3习题设计（课例：两点间的距离.）
习题：精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在实施精准扶贫的工作中，为帮助位于省级公路同一侧的A、B两个贫困村实现脱贫，准备在该公路的边上选择一点P，修两条可直达A、B两村的乡村公路.
（1）假如你是决策人，你将如何选择P点的位置？
（2）若以该公路所在直线为x轴，公路上某一点O为原点，建立平面直角坐标系.此时A（-1，2），B（2，7），当点P满足到两村的距离相等时，试求出点P的坐标，并求出|PA|的值.
本题（1）的答案开放，合理即可.
思路1：到两村的距离之和最近，成本最低，体现节约；
思路2：也可以是到两村的距离相等，体现公平、公正.
众所周知，国家“精准扶贫”的目的是为了“人民幸福”，所以这道题目体现了“中国梦”、“四节”和“核心价值观”，与时俱进，德育渗透较好.既拓展了学生思维，又体现了《普通高中数学课程标准》数学教学要 “立德树人”的基本理念.
2.4选择“入口宽”的题目
“入口宽”的题目是指容易寻找突破口，思路多的题目.高考中许多题目都属于这种类型，这种类型的题目既适合自主探究，又适合开展小组合作学习.
案例4一题多解（课例：点到直线的距离.）
习题：求三角形ABC的面积，这里A（-1，0），B（3，1），C（1，3）.
注：事先老师准备好小黑板，把图形画在黑板上，分到每个小组.
师：大家小组合作学习，将你的结果画在小黑板上，然后小组展示.
生1：（展示方法1，分割法）过B作直线平行于x轴，分成两个三角形求面积，利用底乘以高的一半.
生2：（展示方法2，补形法）过B、C作x轴、y轴的垂线，构造矩形，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
生3：（展示方法3，点到直线的距离公式）求出AB的长度，再求出点C到直线AB的距离，得到三角形ABC的面积.
可能老师原来的预设是进行小组合作学习，每个小组选择不同的底边，然后求出第三个点到底边所在直线的距离作为高，这样会得到三种不同的做法.学生的解法尽管与本节课的教学重点“不合节拍”，但是展示了更多的数学方法――“分割法”、“割补法”、“公式法”，从数学学习的角度讲，数学素养得到提升.
2.5形成结论
某些数学问题不容易理解，并且难以抽象出一个结论，我们可以采用问题探究的方法寻找结论，然后加以证明.
案例5经过两条直线交点的直线系方程（课例：两条直线的交点坐标.）
问题1：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？
问题2：当λ变化时，这些图形有什么共同的特点？
探究：变换λ的值，并把这个值与此时对应的方程填写到下列表格中，然后在同一坐标系中画出这些图形.
合作探究：小组合作，汇总全组所有成员的图形，寻找共同点，选派代表投影展示.
发现：这些直线的共同特点：.
证明：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示的直线恒过定点.
总结：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0具体表示什么图形？
提升：经过两条直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0的交点的直线的方程如何表示？
至此，经过两直线交点的直线系方程结论呈现，完成本节课的一个教学重点.
这种问题探究的方式起点低，衔接自然，符合学生的认知规律.当然，探究结束后，应该有必要的数学证明和说明，譬如讲清楚这不是经过两条直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0交点的所有的直线的方程.
3对数学探究教学的思考
3.1 数学探究有助于学生了解数学概念和结论产生的过程.
日常教学中我们有时会“简化”教学过程，直接给出概念或结论，让学生记忆，然后“套公式”解题.学生尽管会做题了，但是不知道概念和结论的来龙去脉，不会分析一些概念性的问题，不利于数学思维的培养.
3.2数学探究有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯.
数学探究离不开“问题串”教学，在问题解决的过程中，会涉及一些相P的边缘知识，或者出现思维“死角”.这样就会产生“新知”与“旧知”的思维碰撞，学习新知需要质疑探索，温故旧知需要反思，能将主动学习落到实处.
3.3数学探究有助于发展学生的创新意识和实践能力.
