发布时间：2023-09-18 16:32:43
绪论：一篇引人入胜的数学原始概念，需要建立在充分的资料搜集和文献研究之上。搜杂志网为您汇编了三篇范文，供您参考和学习。
王 慧
（太湖高级中学，江苏 无锡 214125）
摘 要：数学是由概念、命题等内容组成的知识体系，是一门以抽象思维为主的学科。而概念恰是抽象思维的语言，因此深刻理解并准确掌握数学概念是学好数学的必要条件。在教学中，恰当地运用探究的方法，充分展示数学知识的形成过程，让学生在体验中建构，不仅可以有效地突破概念教学的难点，而且可以更好地帮助学生深化对概念的理解，培养运用概念的意识和能力。
关键词：高中数学 数学概念 探究教学
据资料显示：多年来高考数学试卷的抽样调查分析表明，高中生在把握数学概念的本质属性方面存在较多问题。主要表现为对数学概念的本质属性认识不深刻,对同一数学概念的不同表达形式缺乏系统概括的理解。究其原因，当前数学课堂中依然存在教师重解题、轻概念的现象，造成学生对数学概念的本质属性掌握不到位，不能很好地运用于解题，最终导致严重影响了教学质量。
下面笔者结合自己在实际教学中的两则案例，谈谈在高中数学课堂教学中对概念本质实施有效探究教学的心得。
案例1 苏教版《数学》必修1中“对数”
(这节课的课题企图直接让学生提出，基本不可能。因此课题的引入就从这个“国内生产总值”问题开始，得到1.08x=2。体现数学与生活的密切相关。)
投影：（1）2x=4（2）2x=12 （3）2x=2 （4）2x=3
（这几个方程都与指数有关系：未知数位于指数位置。）
师：这样的方程在实际生活当中我们经常会遇到，比如：随着经济改革的对外开放，……假如说，国内生产总值每年平均增长率是8%。请问经过多少年，国内生产总值是2010年的2倍？你能列出什么样的式子？
生1：(1+8%)x=2。
师（板书(1+8%)x=2）：这是把2010年的国内生产总值看作1，根据题目的意思列出这样一个方程。这个方程与我们前面列出的方程属于同一个类型，也就是1.08x=2。下面，我们进一步关心一下这几个方程是否有解？
（学生很快说出前三个方程的解：（1）x=2；（2）x= -1；（3）x=12 。但是对于第四个方程不知如何下手。）
师：第四个方程有没有解？
生2：有。
师：到哪里找解呢？解为多少呢？(提出问题)
生2：可以考察函数y=2x的图象。这个函数的图象是连续的，而它的值域是所有的正实数，它又是单调递增的，必与直线y=3有且只有一个交点。所以说，有一个解。
师：他采用形数结合的方法，把这个代数问题化为图象处理，作出y=2x与y=3的图象。从图象上发现有交点，交点的横坐标就是方程的解x。想不想知道x的值是多少？
（激发学生的求知欲与学习兴趣。）
生齐答：想。
师：是多少？
生齐答：不知道。
师：这里的x是确定的，但用我们已经学习过的数又表示不出来，怎么办？大家想一下，我们有没有曾经遇到过类似的问题？（围绕问题，提出假设）（教师帮助学生共同回忆：小学1÷3，除不尽13 ；初中x2=2，x=?2 ，圆周率3.1415926…π……）
师：现在遇到2x =3，x= ? 怎么办？（收集证据，形成解释）
（对探究的一系列暗示，体现“素朴”、“本原”的思想，启发学生想到：用一个什么符号来表示它。用适当的符号表示一个研究对象，是数学的一个基本思想方法。）
师：那么，我们给它一个记号。这个值是由底数2和3唯一确定，所以把这个值记做x=log23。log是拉丁文logreth前面的缩写。读作：以2为底3的对数。这一类问题就是我们这节课将要研究的问题：（板书）对数（1）。请同学们思考对数与指数有什么关系呢？
（学生先独立思考后分组讨论）（交流和评价）
生3：在方程2x =3中求指数x，实际上已知底数与幂，求指数。
生4：对数由指数而来。
生5：对数可以看作是指数的另一种表示，一种等价表示。
感悟：这是一个用一般科学研究的方法进行数学概念探究的过程。由这个过程很自然地得到对数的符号和名称，进而再确定符号的意义。
经历了以上探究过程，学生得出：对数的性质“受制于”指数——受到指数性质的制约；在这个意义上，对数的性质是“天生的”。这也说明对数并非“全新”概念。对于进一步学习对数函数时，学生就不会再感觉到陌生与害怕。正是因为“对数从指数而来”，所以对数问题往往要转化为指数来研究，这就产生出“把对数交给指数”的法则，一切变得更加自然。
案例2 苏教版《数学》选修2-2中“导数”
投影：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10。请分别计算运动员在[0,0.5]、[1,2]、[0,6549 ]时间段的平均速度，并描述运动员在这三个时间段内的运动状态。
生：运动员在[0,0.5]时间段内平均速度为4.05m/s，说明运动员在该段时间内做上升运动。在[1,2] 时间段内平均速度为-8.2m/s，运动员在该段时间内做下降运动。在[0,6549 ]时间段的平均速度为0m/s，运动员在这段时间内做……
师：做什么运动？
生：平均速度为0，但是运动员在这段时间内并不是静止的啊。
师：平均速度的确为0，我们并没有算错，说明平均速度并不能很好的描述运动员的运动状态。
师：那我们用什么来描述运动员的运动状态更为合理呢？
（引发学生现有认知冲突，发现想要更为准确合理地描述物体的运动必须寻求一个新的知识。使学生处于愤悱状态，激发学生主动探索新知的欲望。）
问题串（逐个呈现）
问题1：你会求t=2时刻的速度（瞬时速度）吗？（学生一脸茫然）
问题2：在t∈[2,2.1]的平均速度是多少？（学生很快就解决了）
问题3：t∈[2,2.01]、[2,2.001]、[2,2.0001]、[2,2.00001]……的平均速度呢？（借助计算器组内完成）
（教师投影表格，同时介绍“Δt”。由于计算量较大，因此让学生分组用计算器完成，而后再将数值填入表内。）
问题4：通过计算，你有何发现？（组内讨论）
（学生通过表格中数据的直观呈现，发现当Δt越接近0时，平均速度 越接近常数-13.1。）
问题5：你会求运动员在t=2时刻的瞬时速度了吗？
（学生通过计算与观察，归纳出当Δt无限趋近于0时，平均速度 无限趋近于常数-13.1，这个常数就是运动员在t=2时刻的瞬时速度。）
问题6：你会求运动员在某一时刻t0的瞬时速度吗？
（用t0代替问题5中的2即可。通过以上问题的解决，学生经历了由特殊到一般，具体到抽象的过程，加深了对“逼近思想”的感悟，思维能力得到了提升。）
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数学概念是人类在长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，它的起源与发展都是自然的。数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映。数学概念是数学的根基，所有的数学内容都必须建立在数学概念之上。数学概念是形成数学法则、公式、定理，也是运算、推理、判断和证明的基础，还是数学思维、交流的工具。数学概念包括概念的名称、定义、正例反例、表征特性。最重要的是其定义，定义对明确概念具有清晰、扼要、确定和醒目的作用。学生对概念的理解和掌握如何，对后续知识的学习将产生重要的影响，教师必须做好概念教学。
数学概念的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式。但在教学实践中，我们一线教师都有一个共同的困扰，即在学生自主探索的时间内，①有的学生根本提不出问题，②有问题也无从下手分析，③大部分学生抓不住要点。一节时间过去了，什么教学任务没有完成。教师看在眼里，急在心上，属于无效教学。现代教育提倡自主探索、情景激发、合作学习，但并不是每节数学课必不可少的步骤，数学课不能以“生活化”和“社会化”代替“数学化”。一个数学概念的形成是前人把大量的同类事物某方面的特性单独抽出来研究，经过比较、分析、归纳和抽象再把这类事物的共同特性综合起来概括出数学概念。严谨科学的数学概念的理解，对学生来说不是一下子就能领会深刻的。因此教师必须搞清楚数学概念的属性，有些概念只需识记；有些概念需弄清楚它的来龙去脉、深刻理解；有些概念不仅要理解还要应用其解决问题。这样就能合理地安排教学。
一、原始概念的教学
原始概念指不加定义的概念，根据人们的直觉，形象描述，举例说明。我们在教学中要找到现实的最佳原型，把这个概念的特性表征出来。如：自然数、点、线、平面、集合、对应、平行、相交、代数式、等式、不等式等。例1：代数式的说明：经过举例后，描述为像这样由数和字母乘积组成的式子就叫代数式。例2：集合的说明：通过举同种性质事物全体后，描述为像这样特定对象的全体构成集合。原始概念是概念中的基石，有了原始概念就可以在其基础上抽象出新概念。这类概念的教学，只需举出日常生活、生产中的实例形成这类概念的印象，搞清楚其特征。教学的要求是达到了解水平，即能说出这些知识是什么，能在有关问题中识别它们。
二、规定式概念的教学
由于数学发展的需要而作出的规定。模长等于1的向量是单位向量。非零实数的零次方等于1。还有绝对值、圆周率、自然对数的底数等。教学要求也只需达到识别、回忆、套用即可。因为这些概念是硬性规定的。但应用时要抓住使用条件。
三、构造式概念教学
日常生活、生产中研究的对象变化符合某种规律，就可构造出相应数学模型。通常由数与式通过运算法则和符号组成固定形式。如：“形如y=ax（a>0且a≠1）的函数”叫指数函数。这类概念形式有严格的要求。要理解这类概念，就需进行概念辨析。如：y=3-x，y=2·3x，y=（-3）x，y=3x+1是不是指数函数。这类概念教学用不上情景和启发，用得上点拨与讨论，记住这些基本函数的形式。
四、逻辑式概念的教学
在已学过的数学概念基础上，用若干个原始概念或者改变某些条件形成新的数学概念。例：棱柱的定义为：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体。其中已学过的定义有“平行平面”、“四边形”、“公共边”、“平行”、“多面体”。此类的概念还有：等腰梯形、圆锥等。教学中需要用到原来已学过的概念，再搞清要改变的条件即可。
五、程序性概念
经过有限步骤的运算或画图由数学基础知识和技能而形成的概念。此类概念是教学中的重点，有时也是难点。这类概念占的比例最大，又可细分为两种情况：（1）过程型定义：完成运算步骤，就可以得到该概念的定义。例1：要想理解平均数的定义。①给出一组实数，②求这组实数的和③用和除以这组数的个数④所得的数即为这组数的平均数。例2：理解函数的定义。①观察两个非空数集A、B中有哪些元素，②分析对应关系f，③集A中的元素在f作用下的结果在B中能否找到④做出判断。（2）结构型定义：观察数学对象的各部分结构加上组合方式做出的判断。例1：理解单项式定义时：举出几个式子，观察每个式子都是数字与字母的乘积。例2：理解三角形定义时：观察三条线段首尾顺次相连即可。 教学中要搞清楚形成该概念有几个步骤或分解这个概念的组成成分。
六、数形结合式定义
先通过画图认识其形状结构，再通过蕴含的数量关系搞清其本质特性。例1：在平面内到两个定点距离的和等于定长的点的轨迹形成椭圆。我们虽然通过线绳操作画出椭圆，但这些感性知识还是不够的。其中的数量关系式①两定点距离为2c，②动点到两定点的距离之和为2a，③2c
数学概念除了定名称，搞清定义以何种方式形成外，还应举出适当数量的正例和反例加深理解和记忆。要熟练的掌握数学概念，还应对定义进行变式训练，即加强或减弱或隐含某些条件来辨析概念的正误以及适用范围。
【参考文献】
